1.   前言

对于考虑抗震设计的梁的正截面计算，由于计算或构造要求，通常其上下部均配有纵向钢筋，甚至在有的情况下，上下配筋还可能数量相当。例如，《混凝土结构设计规范》GB 50010—2010^[1]的强制性条文中对考虑抗震设计的框架梁梁端截面的底部和顶部纵向受力钢筋截面面积的比值，除按计算确定外，一级抗震等级不应小于0.5，二级不应小于0.3。但是，通常情况下，在设计梁的底(顶)部受拉配筋时，并不知道顶(底)部已经存在的受压钢筋面积，所以在设计中一般没有考虑已经存在的受压钢筋对抗弯配筋计算的影响，上下部的纵向钢筋面积分别由截面的正负弯矩的最不利效应决定。通过本文中的分析可以得出，当受压钢筋面积与将要配置的抗弯受拉钢筋面积相当时，如果不考虑其影响，将使总的配筋量增多，造成材料浪费。本文将深入研究如何合理地考虑梁的受压钢筋的正截面配筋设计方法，先进行基于计算公式的理论分析，然后采用数值计算方法求解出大量数据，通过图表对结果进行分析，再根据工程要求提出合理的满足精度要求的简化设计方法。

2.   受压钢筋配筋量对受拉钢筋配筋量的影响分析

在已知受压钢筋的情况下，对于一般的双筋截面设计，通常是先假设受压钢筋受压屈服，如果计算过程中发现其未屈服，则采用对受压钢筋取矩并忽略混凝土作用的简化方法进行设计。在本节中，需要准确地分析已知的受压钢筋配筋量对抗弯计算所需要的受拉钢筋配筋量的影响，如果已确定受压钢筋未受压屈服，就不能采用简化方法来进行设计，而应该准确地计算受压钢筋的真实应力，进而准确地计算出此时抗弯所需受拉钢筋面积，得出准确的影响规律。

不失一般性，可以选择工程中最为简单和常用的矩形截面进行分析，并假设梁的项部和底部采用同类、同级别钢筋，已知受压钢筋面积A′_s和弯矩M条件下，用于抗弯配筋设计的两个平衡方程和一个物理方程如下^[2]：(其中σ′_s为受压钢筋的应力，以受压为正，因为此处讨论的A′_s可能受压也可能受拉，所以在下文中将A′_s称为受压侧钢筋面积。)

对于(1)式，当M一定时，考察A_s随x在(0, h₀)范围内逐渐增大时的变化趋势：当x在(0, a′)范围内时，A_s随x增加而减小；当x在(a′, h₀)时，A_s随x增加而增加。

对于(2)式，当M一定时，考察x随A′_s在[0, ∞)范围内逐渐增大时的变化趋势：当A′_s=0，根据式(1)、(2)、(3)进行抗弯设计时计算出的x取值使σ′_s>0(即x>β₁a′)时，如果x减小，则A′_s将增加以满足平衡方程(2)式，反之，A′_s的增加将导致x的减小，随着A′_s趋于无穷，x逐渐减小而无限接近β₁a′；当A′_s=0时求得的x取值使σ′_s < 0(即x < β₁a′)时，x的增加导致A′_s的增加，反之，A′_s的增加导致x的赠加，随着A′_s趋于无穷，x逐渐增大而无限接近β₁a′。

对于式(3)，明显地，σ′_s是x的递增函数，当x=β₁a′时，σ′_s=0。

综上分析，根据A′_s=0时由M进行抗弯设计时计算出的x₀值的不同，A_s随A′_s的变化趋势可以分以下四种情况：①当0 < x₀ < β₁a′时，A′_s↑$\Rightarrow $x↑$\Rightarrow $A_s↓；②当x₀=β₁a′时，A′_s↑$\Rightarrow $x不变$\Rightarrow $A_s不变；③当β₁a′ < x₀≤a′时，A′_s↑$\Rightarrow $x↓$\Rightarrow $A_s↑；④当x₀>a′时，开始阶段，A′_s↑$\Rightarrow $x↓$\Rightarrow $A_s↓，当x减小到a′后，与③相同。

以上分析没有考虑界限受压区高度的影响，如果考虑的话，情况也是类似的。在上面的三个方程中，如果已经确定受压钢筋不能受压屈服，则(1)、(2)、(3)式联立即为含有3个未知数(分别为x, σ′_s, A_s)的非线性方程组，需要采用数值方法求解，下一节将采用数值方法对实例进行计算分析，并给出符合上述规律的比较直观的结果。

3.   考虑受压侧钢筋进行抗弯设计的数值计算方法和计算结果分析

为了便于推导，将上节中的平衡方程(1)式改为力平衡方程(4)，如下：

对于以上方程组(4)、(2)、(3)的求解，可以分两种情况讨论。在已知A′_s(≥0)的条件下，当假设受压侧钢筋应力σ′_s已确定时(受压屈服或受拉屈服)，通过(4)、(2)式可直接求x和A_s；当受压侧钢筋未受压屈服或受拉屈服时，σ′_s的取值未知，与混凝土受压区高度x有关，需要通过(4)、(2)、(3)式联立求解，其中包含3个未知数(分别为x, σ′_s, A_s)，求解该非线性方程组时，需采用数值方法。将(3)式代入(2)式，并对(2)式进行整理后，可设f(x)，并求出其一阶和二阶导数f′(x)、f″(x)如下：

f(x)=α₁f_cbx(h₀-0.5x)+σ′_sA′_s(h₀-a′)-M=-0.5α₁f_cbx²+α₁f_cbh₀x+[ε_cuE_sA′_s(h₀-a′)-M]-ε_cuE_sβ₁a′A′_s(h₀-a′)x^-1

f′(x)=-α₁f_cbx+α₁f_cbh₀+ε_cuE_sβ₁a′A′_s(h₀-a′)x^-2

f″(x)=-α₁f_cb-2ε_cuE_sβ₁a′A′_s(h₀-a′)x^-3

这样就将非线性方法组的求解转化为求f(x)=0的根，进而根据x值由(4)式求A_s。实际用于设计时，h₀-a′>0是确定的，则f(x)的导数具有如下性质：f′(x)>0, x∈(0, h₀)；f″(x) < 0, x∈(0, h₀)。当确定含根区间时，对于实际情况，因为具有明确的物理意义，可以保证根的存在唯一性，根据Newton迭代法的非局部收敛性的条件^[3]，对于该问题，只需要用于迭代的x的初值满足一定条件即可保证求解收敛。具体来说，由于f′(x)>0，根据受压侧钢筋恰好受压屈服和恰好受拉屈服时的受压区高度x确定的f(x)值的符号，可以很容易地判断是否处于未屈服状态，如果已判断处于未屈服状态，则相应的有根区间的上下边界也即受压侧钢筋恰好受压屈服和恰好受拉屈服时的x值。为了满足Newton迭代的非局部收敛条件，可取迭代初值为受压侧钢筋恰好受拉屈服时的x值。

根据以上分析，通过编程实现上述算法(进行迭代求解时，受压区高度x的连续项差的限值取为含根区间宽度的1/10000，可以认为此时的计算结果为精确解)，对于如下条件的矩形截面梁：①截面参数：b=250 mm, h=600 mm, h₀=560 mm, a′=40 mm；②材料参数：C30, HRB400；③截面内力：弯矩M分别取30、50、62.233 6、75、100、150、200、300、430.138、500、600、700、800 kN·m，当A′_s=0时对应的x₀值如表 1所示，计算结果如图 1所示，其中每一条曲线代表M为一定值时，A_s随A′_s的从0逐渐增加，根据上述方程组求得的变化曲线，其中(a)、(b)图分别为M取值较小和较大的情况，(a)图中标出的数据点的纵坐标与相应曲线的位置代表了这条曲线的变化趋势，(b)图中也已画出M较小的曲线，其形状基本上是水平的，没有像(a)图一样标出相应的数据点。

表  1  是否考虑受压钢筋时受拉钢筋配筋量对比表

M(kN·m)	30	50	62.2336	75	100	200	300	430.138	500	600	700	800
x0(mm)	15.2	25.6	32.0	38.8	52.4	110.9	178.2	289.9	289.9	289.9	289.9	289.9
As0(mm2)	145.68	252.46	317.78	385.94	519.42	1 053.37	1 587.38	2 282.47	2 655.71	3 190.15	3 724.89	4 260.07
As∞(mm2)	150.86	253.81	317.78	385.38	520.38	1 101.07	1 769.67	2 878.69	3 251.89	3 786.08	4 320.27	4 854.45
ρ(%)	0.10	0.18	0.23	0.28	0.37	0.75	1.13	1.63	1.90	2.28	2.66	3.04
εr(%)	3.56	0.53	0.00	-0.15	0.18	4.53	11.48	26.12	22.45	18.68	15.98	13.95

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图  1  A′_s-A_s图(M(kN·m)取一定值)

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由图 1(a)并参照前一节的分析，可知：(1)M=30 kN·m和M=50 kN·m所对应的曲线规律与上一节中变化趋势①相符；(2)M=62.233 6 kN·m所对应的曲线与上一节中的变化趋势②相符，因为此时恰好x₀=β₁a′成立；(3)M=70 kN·m所对应的曲线对应上一节中变化趋势③；(4)M=100 kN·m所对应的曲线对应上一节中变化趋势④，当M取更大时，变化趋势与M=100时的趋势相同。以上是从图 1(a)所得到的规律，但这些规律的实用性并不强，因为这些曲线的变化趋势接近水平，受压钢筋对受拉钢筋的影响是很小的。此外，在较小弯矩的情况，计算配筋较小，甚至不足以满足规范中的构造要求而不起控制作用，所以受压钢筋的多少对受拉钢筋的影响几乎可以忽略不计。

现对图 1(b)进行分析，从该图得出的信息对于进一步地分析是很重要的。由图 1(b)可知，当弯矩取值在200~800 kN·m范围内的各组情况，当已知的受压侧钢筋A′_s增大到一定程度(可取与受拉侧钢筋量相同时，如图 1(b)中45°斜线)，可以认为A_s随A′_s的增加不再变化。于是可以推断，当已知受压侧钢筋较受拉侧钢筋配筋量多时，如果采用对称配筋的方式来计算受拉钢筋，可以得到足够精确的结果，这样也就解决了本节一开始提出的不知道受压侧钢筋配筋量的问题，下一节将继续讨论对称配筋的精确计算方法。

对图 1中的结果进行整理如表 1所示，在表 1中，x₀是A′_s=0时由M进行抗弯设计求出的受压区高度(已考虑界限受压区高度的影响)，A_s0为此时的受拉钢筋面积；A_s∞为已知A′_s=5 000 mm²时由M进行抗弯设计求出的受拉钢筋面积，配筋率$\rho = \frac{{{A_{s\infty }}}}{{b{h_0}}}$。对两种结果进行比较，如果将不考虑受压钢筋的影响情况看成是一种简化计算，则相对误差${\varepsilon _r} = \frac{{({\mathit{A}_{s0}}-{A_{s\infty }})}}{{{A_{s\infty }}}}$。由表 1可以发现，当配筋率较小时，两者的区别不大，当配筋率大于0.75%左右时，不考虑受压钢筋影向的简化方法将使配筋量增加5~25%左右，例如当配筋率为1.63%(M=430.138)时，相对误差最大，为26.12%。

4.   假设对称配筋进行抗弯设计的数值计算方法和计算结果分析

由于已假设对称配筋，即，则上文中的平衡方程(4)、(2)改为如下形式：

与上一节类似，对于以上方程的求解，可以分两种情况讨论。当假设受压侧钢筋应力σ′_s确定时(只能受拉屈服，不可能受压屈服)，通过(5)、(6)式可直接求x和A_s；当受压侧钢筋没有受拉屈服时，σ′_s的取值未知，与混凝土受压区高度x有关，通过(5)、(6)、(3)式联立求解，包含3个未知数(分别为x, σ′_s, A_s)，求解该非线性方程组时，仍需采用数值方法。与上文中的求解思路类似，但此时的f(x)的性质并不像上文中的f(x)那么好，不能完全满足的Newton迭代法的非局部收敛条件，综合考虑后可以选择二分区间搜索法。根据以上分析，通过编程实现上述算法，结果如图 2所示的对称配筋面积A_s随设计弯矩M的变化曲线。《混凝土结构设计规范》规定当x < 2a′时，可采用不考虑混凝土作用的简化算法，而此处的对称配筋的x也是满足这个条件的，在图 2中也按这种简化方法画出了相应的A_s随设计弯矩M的变化曲线，可以发现两条曲线基本重合。两种方法的计算结果比较如图 3所示，其中ρ为配筋率，ε为相对误差。可以看出，精确算法和简化算法的结果符合得很好，仅在配筋率较小(小于0.2%左右)的情况下才产生5%以上的误差，在工程设计中采用这种简化方法是合理的。

图  2  M-A_s图

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图  3  ρ-ε图

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5.   结论

根据第3节的分析，如果知道梁的底(顶)部配筋量比顶(底)部配筋多时，我们可以先按对称配筋来计算顶(底)部受拉钢筋，根据第4节的分析，对称配筋受拉钢筋的计算可以采用规范的简化方法，来计算顶(底)部钢筋，再计算底(顶)部受压钢筋时就可以把上一步得到的顶(底)部钢筋作为已知条件，这样就解决了受压侧钢筋未知的问题，只需要知道梁顶部和底部的配筋量相对大小即可。对于具有两个对称轴的矩形截面来说，可以由正负弯矩的绝对值大小即可以判断顶部和底部的配筋量相对大小，所以本文的设计方案圆满地解决了矩形截面考虑受压钢筋的正截面配筋设计问题。对于T形截面，不能简单地根据内力判断配筋量相对大小，只能先进行试算来确定相对大小，再按本文的方法来考虑受压钢筋的影响。

需要说明的是，本文考虑已经存在的受压钢筋作用的设计方法与通常所说的按双筋设计是有区别的。后者是一个控制弯矩决定了受拉和受压两侧的钢筋，其受压区高度取界限受压区高度，梁的变形能力和延性偏低，总是采用双筋截面设计也是不经济的；而前者的受压侧钢筋一般是由其相应的起控制作用的弯矩决定，与控制受拉钢筋的弯矩是没有关系的。例如，梁的顶部钢筋先是由截面的控制负弯矩决定的，当根据控制正弯矩计算底部钢筋时，根据已知的受压侧钢筋配筋量，来考虑其对底部钢筋的影响，当已知的受压侧钢筋不足时，才转化为按双筋设计。所以说考虑受压侧钢筋的设计方法与梁的延性减小并没有直接对应的关系，也不存在不经济的问题。通过本文的分析可知，本文的方法在很多情况下还可以产生经济的效果。