Study on Modeling Technology of 3D Finite Element Model of Bridges
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摘要: 公路桥梁结构设计系统(简称：GQJS)是交通运输部公路科学研究自主研发的桥梁有限元分析软件，在建立空间有限元计算模型时采用桥梁基本设计参数建立了各施工及成桥阶段的实体、板壳、空间梁格三维有限元计算模型，能够进行空间结构的静力和模态计算分析。该系统可建立包括斜拉桥、悬索桥、刚构桥、组合式梁桥及曲线桥等复杂桥梁的三维有限元模型，根据结构形式采用适合的单元进行模拟，例如：混凝土桥梁采用12节点实体单元，钢箱梁桥梁采用板壳单元，钢筋、拉索及支撑采用杆单元等。该系统基于OpenGL图形函数库开发了三维模型显示平台，可任意浏览和查阅桥梁三维有限模型和结构计算结果云图，大大提高了桥梁设计工作效率。Abstract: The Highway Bridge Structure Designing System (GQJS) is a finite element analysis software for bridge independently developed by the Research Institute of Highway Ministry of Transport, which is able to parametrically establish a 3D finite element model using basic solid, shell and beam elements for the static and modal calculation and analysis of space structures. By using the system, complicated bridge structures can easily model for 3D finite element analysis, including the cable stayed bridge, the suspension bridge, the rigid frame bridge, the composite girder bridge and the curved bridge. Suitable elements are applied to simulate according to the structure of bridge, e.g. the concrete bridge adopts 12 node solid element, the steel box girder bridge adopts the plate and shell element, and the steel bar, the cable and the supportadopt the rod unit. On the system, a 3D model display platform is developed using the OpenGL graphic function library, which enables the browse and access of the 3D finite element bridge.
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Keywords:
- GQJS /
- 3D Modeling /
- Opengl /
- SolidElement
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引言
对照计算机软硬件技术的发展，在桥梁结构设计中，越来越重视桥梁三维模型的建立，桥梁三维模型既可用于显示桥梁设计细节，也可用来直接进行力学分析和形成2D施工设计图。相对平面模型而言，桥梁结构的实体单元模型可以更精确地模拟桥梁实际受力状态，随着计算机计算性能的逐步提高，实体有限元模型将会逐步应用到桥梁结构设计分析中[1-2]。
空间有限元模型的建模更加复杂，GQJS系统是在桥梁设计基本参数基础上，建立桥梁三维有限元模型。混凝土桥梁采用12节点实体单元，钢箱梁桥梁采用板壳单元，钢筋、拉索及支撑采用杆单元等。对于钢筋混凝土和预应力混凝土结构，钢筋采用空间杆单元，按实际位置建立有限元模型，钢筋坐标位置和单元节点编号相对独立，计算时钢筋与主结构之间通过位移协调关系参与结构受力。
三维有限元结构的建模与显示是分不开的，GQJS系统基于OpenGL图形库函数采用面相对象语言C#开发图形显示平台，可以实时浏览和查询三维有限元模型及单元信息数据。OpenGL是一个性能卓越的三维图形标准，具有使用简便，功能强度等特点[3-4]，它是在SGI等多家世界闻名的计算机公司的倡导下，以SGI的GL三维图形库为基础制定的一个通用共享的开放式三维图形标准。目前，包括Microsoft、SGI、IBM、DEC、SUN、HP等大公司都采用了OpenGL为三维图形标准，许多软件厂商也纷纷以OpenGL为基础开发出自己的产品，其中比较著名的产品包括动画制作软件Soft Image和3D Studio MAX、仿真软件Open Inventor、VR软件World Tool Kit、CAM软件ProEngineer、GIS软ARC/INFO等。
1. 桥梁三维有限元模型技术
1.1 空间模型建立
为使建模过程操作直观、方便，按照桥梁结构所在部位和功能，系统将桥梁结构分为桥面系单元、非桥面系单元、拉索单元、支撑杆件元四部分。
桥面系单元是指桥梁上部与车轮接触的主承重结构单元；非桥面系单元是指桥墩、塔柱、拱圈等不与车轮接触的结构单元；拉索单元用以模拟斜拉桥拉索以及悬索桥或中承式拱桥的吊杆等索结构单元；支撑杆件元用以模拟结构支撑边界条件。
根据不同单元组的特点分别设计数据输入界面，以输入、检查和修改单元坐标、结构材料、截面几何等有限元计算所需信息。其中桥面系单元坐标信息用节点号、单元长度、起点桩号描述，见图 1。程序可根据路线平曲线、竖曲线信息计算出各单元节点坐标。桥梁支撑约束给出水平、垂直、转角及横向四个方向的约束，约束位置用该约束点路线桩号、距桥面的距离描述，然后由程序根据横桥向信息自动生成全桥空间有限元分析所需的结构约束信息，各单元组空间位置相对独立。
1.2 几种建模关键技术点
1.2.1 变截面梁段内差处理
在桥梁结构形式中，变截面桥梁是一种很普遍的形式，其截面沿桥面轴线变化。如果采用一般方法建模，将要输入大量截面，工作效率较低，且准确性难以保证，GQJS系统采用拉格朗日差值法建立了单元内差功能，可以方便地对等截面或变截面梁桥、拱桥的拱圈以及下部结构等进行单元重新划分，自动生成内差单元的相关数据。
节段单元内差的划分形式，总共有四种：直线；幂函数；二次抛物线(内差1个参考截面)；三次抛物线(内差2个参考截面)。以幂函数为例，要输入截面顶板曲线幂值、顶板曲线顶点桩号、截面底板上缘曲线幂值、底板上缘曲线顶点桩号、截面底板下缘曲线幂值、底板下缘曲线顶点桩号。这里将截面计算点分为3个区域，顶板点为位于二分之一梁高以上的区域内的点；底板下缘为截面底边上的点；底板上缘点为位于二分之一梁高和底板下缘之间的所有点。内差单元节点坐标和截面3个区域计算点分别按不同的幂函数计算。幂函数方程表达式为：
$ y = a{\left( {x-{x_0}} \right)^n} + b $
式中，──为曲线顶点坐标；
n──为幂值可以是整数或实数，如1、1.5、2、2.5等；
a、b──两个未知系数，可根据单元i、j端已知的x和y值确定。
系统将根据选中单元i、j端以及一或两个内差参考截面按所选的内差方式和单元划分方案进行曲线拟合计算，自动生成内差单元节点和截面的有关数据，如图 2为二次抛物线方式内差拟合的变截面梁段。对于结构对称桥梁，GQJS系统提供了单元信息镜像功能，大大提供建模速度。
1.2.3 钢混组合梁桥建模
钢混组合梁桥因能充分发挥不同材料的优势，扬长避短，具有良好的综合技术经济效益和社会效益，逐渐被工程师们广泛采纳。
由于钢混组合梁截面的材料不同，建模过程不能以整体的截面建立模型，需对截面进行拆分，分部考虑。GQJS系统采用灵活了的建模方式，可在桥面系单元和非桥面系单元中分别建立截面的各部构件，各部分构件单元划分一致，节点可独立。以某波形钢腹板梁为例，顶板采用桥面系单元，钢腹板和底板采用非桥面系单元，如图 3为三维有限元模型。
1.3 有限单元离散
1.3.1 空间梁杆单元
建立空间梁格模型时，桥面系单元、非桥面系单元离散为空间梁单元(2节点12自由度)，拉索单元、支撑杆件元、钢筋单元离散为空间杆单元(2节点6自由度)，钢筋单元与混凝单元之间通过刚臂连接。系统根据单元节点之间距离判断连结状态，距离接近于0时由共用节点号连接相邻单元，相邻单元节点之间距离较大的，及结构单元与支撑杆件之间用刚度很大的刚臂(梁单元)连接。如图 4中(a)所示，红色的钢筋和黑色的主梁之间通过绿色的刚撑连接。此外，GQJS系统提供了空间梁格单元模型的实际轮廓线显示功能，有助于用户更好的理解计算模型，图 4中(b)展示了同一模型增加主梁轮廓线之后的模型三维预览图。
1.3.2 空间实体单元
(1) 实体单元网格划分
桥面系单元、非桥面系单元沿轴线方向每个平面杆系单元划分为一个12节点三维实体单元的单元组。每个单元组实体单元数由横断面网格划分决定，即先根据横断面周边连线特征将横断面划分为若干个四边形网格区域，如图 5中(a)所示的箱梁截面粗网格划分情况，再根据控制信息中规定的实体单元横桥向最大尺寸将每个四边形各边等分为若干段，以各段长不超过实体单元横桥向最大尺寸为原则，形成细四边形网格区域，如图 5中(b)所示的箱梁截面细网格划分情况。
经过顺桥向按单元长度划分和横桥向细网格划分，桥梁结构被离散成许多组空间六面体单元。对每组单元节点进行编号，相邻单元组之间的单元用位移协调方程指定相邻节点位移关系，能够有效地解决变截面梁实体单元划分问题。
(2) 实体与杆单元连接
系统的空间实体模型采用12节点等参元单元模拟混凝土，用非线性杆单元模拟预应力钢筋，通过约束方程建立钢筋单元和混凝土单元位移协调关系，用壳单元模拟薄板和刚腹板等。不同类型单元的节点坐标相对独立，通过节点耦合(节点位移约束方程)形成复杂预应力混凝土桥梁的全桥计算模型。一个12节点实体单元和2个2节点杆单元(13-14，14-15)组成的单元如下图 6所示。其中，杆单元的节点13，14，15不是独立位移节点，分别与其共面的4个实体单元节1-4，5-7，9-12通过位移约束方程建立相互联系。
GQJS系统是根据与平面计算相同的界面参数自动形成空间实体单元精细化计算模型的，实体单元划分的密度可以随时通过单元网格数、实体单元最大尺寸和长短边比例进行调整，不需要计算空间节点坐标和定义单元节点编号等，大大简化了建模过程。本文列出系统建立的几种复杂桥梁三维空间结构图，如图 7、图 8所示：
2. 图形显示平台技术
2.1 图形平台类关系
GQJS系统图形显示平台采用面向对象的C#语言，基于底层OpenGL图形库函数建立显示控件类，以及用于定义和几何图形计算的几何图元类。其中，控件类建立了三种具体继承关系的类，在每个类中定义不同的图形操作方法和属性。在几何图元类中，应用类的继承、多态等特性，有助于提高程序的扩展性和可移植性。图形平台的主要类层构架见图 9，图中“
2.2 三维图形变换原理
图形平台的基本操作包括：平移、旋转、缩放等功能，以下介绍平移、缩放、旋转操作的基本原理[5]。
2.2.1 平移变换
三维图形通过如下公式1平移变换矩阵，对图形进行平移处理：
$ [\begin{array}{*{20}{c}} {{x^*}}&{{y^*}}&{{z^*}}&1 \end{array}] = [\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z&1 \end{array}]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ {{T_x}}&{{T_y}}&{{T_z}}&1 \end{array}} \right] $
(1) 公式1中，Tx，Ty，Tz分别为三维形体沿三个坐标轴方向的平移分量。其中，x*，y*，z*为平移变换前的三维点的坐标，x，y，z为平移变换后的三维点的坐标。
2.2.2 比例变换
相对于坐标原点的比例变换矩阵为：
$ T = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{s_x}}&0&0&0\\ 0&{{s_y}}&0&0\\ 0&0&{{s_z}}&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $
(2) 公式2中sx，sy，sz分别为沿着x，y，z三个方向的比例因子，图形沿着三个方向被比例缩放。当sx=sy=sz时，表示各向均匀的放大(缩小)；当sx=sy=1，sz=-1时，表示对xoy平面的对称变换；当sx=sy=sz=-1时，表示对原点的对称变换。相对于任意参考点变换时，先将参考点平移到原点处后做比例变换。
2.2.3 绕坐标轴的旋转变换
在右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转θ角的变换公式分为三种情况：
(1) 绕x轴旋转
$ [\begin{array}{*{20}{c}} {{x^*}}&{{y^*}}&{{z^*}}&1 \end{array}] = [\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z&1 \end{array}]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&{\cos \theta }&{\sin \theta }&0\\ 0&{-\sin \theta }&{\cos \theta }&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $
(3) (2) 绕y轴旋转
$ [\begin{array}{*{20}{c}} {{x^*}}&{{y^*}}&{{z^*}}&1 \end{array}] = [\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z&1 \end{array}]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{-\sin \theta }&0&0\\ 0&1&0&0\\ {\sin \theta }&0&{\cos \theta }&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $
(4) (3) 绕z轴旋转
$ [\begin{array}{*{20}{c}} {{x^*}}&{{y^*}}&{{z^*}}&1 \end{array}] = [\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z&1 \end{array}]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{\sin \theta }&0&0\\ {{\rm{-}}\sin \theta }&{\cos \theta }&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $
(5) 旋转变换示意如图 10所示：
公式3~5中，x*，y*，z*为变换后坐标，x，y，z为变换前的坐标。
2.2.4 绕任意坐标轴的旋转变换
绕过原点的任意轴旋转θ角，若该轴方向向量为(n1，n2，n3)，此时变换矩阵为公式(6)：
过空间任意一点A的任意轴AB的旋转变换可由下述变换复合而成：将A点平移至原点，平移变换T；绕过原点的任意轴进行旋转变换；将旋转后的图形由原点到A点的平移变换(T的逆变换)。
2.3 结构计算结果云图差值
结构计算结果云图包括位移云图和应力云图，根据云图颜色的分布情况，可以清楚地了解模型的计算结果。在OpenGL图形库函数中，是以空间三角形面为基本图元进行图形绘制的，对于六面体实体单元，需将各个面划分为三角形单元，每个面划分两个三角形单元，共12个三角形面，三角形单元面的颜色由节点控制，节点的不用颜色构成整个面的颜色成阶梯变化，反映计算结果的变化趋势[6]。
对于结构计算结果云图而言，需要对模型的各个节点计算结果进行颜色差值计算，颜色值由三个参数值控制，color：(a，b，c)。取值范围：a：0~225，b：0~225，c：0~225。采用九种颜色划分。首先，获得模型中所有节点结果分量的极值：最大值(Max)和最小值(min)后，其次，对各个节点结果分量进行颜色插值计算，得到各个节点的颜色值，模型结果云图由九种不同颜色划分，极值颜色从蓝色渐变到红色，图 11为某波形钢腹板梁的位移云图。
2.4 文件读取
实体单元模型在计算分析中，将会产生大量的计算结果信息，尤其在动力计算过程中，当模型单元数和计算时步较多时，将会产生十分庞大的计算结果文件(包含每个时步的节点位移和节点应力分量值)。如果一次读取所有时步数据，系统会出现内存溢满报错的情况。
$ M = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {n_1^2 + (1-n_1^2)\cos \theta }&{{n_1}{n_2}(1-\cos \theta )-{n_3}\sin \theta }&{{n_1}{n_3}(1 - \cos \theta ) - {n_2}\sin \theta }&0\\ {{n_1}{n_2}(1 - \cos \theta ) - {n_3}\sin \theta }&{n_2^2 + (1 - n_2^2)\cos \theta }&{{n_2}{n_3}(1 - \cos \theta ) - {n_2}\sin \theta }&0\\ {{n_1}{n_3}(1 - \cos \theta ) - {n_2}\sin \theta }&{{n_2}{n_3}(1 - \cos \theta ) - {n_1}\sin \theta }&{n_3^2 + (1 - n_2^3)\cos \theta }&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right] $
(6) 因此，为解决此问题，本文提出了分步读取计算结果文件的方法，具体思路是：以每个时步产生的计算结果文件作为一个整体读取，记录到数组中，然后显示该时步的计算结果，读取下一步前，清空数组中的数据，再显示该时步的计算结果，以此循环。通过此方法，能够解决一定数量实体单元模型的计算结果读取问题(单元数不大于10万个单元，同时分析时步不大于900时步)。
在系统中，具体实现步骤为：首先，读取原模型所有的节点和单元信息，记录此时数组指针在结果文件中的位置；其次，以模型节点数作为文件每步读取的限值，并读取模型节点的位移值和应力分量值；最后，在显示函数中，导入将该时步的模型节点位移值和应力值，清空数据存储数组，继续读取下一时步的模型数据，直至结束。
3. 结论
系统基于桥梁设计基本参数自动建立各种复杂的三维有限元模型，证明了由平面模型转化为空间模型是可行的。利用一套数据建立两种计算模型，大大提高了桥梁设计工作效率，平面计算时可对桥梁施工全过程进行分析，空间计算时可对桥梁分阶段进行静力和动力分析；基于OpenGL图形函数库开发的图形平台可为三维有限元模型及计算结果的浏览和查询提供强有力的支撑工具。
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