Equiangular Subdivision and Conformal Mapping of Ellipsoidal Surface Applied to Architecture
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摘要: 随着数字技术在建筑设计中的深入运用，国内外出现了许多用经典曲面和自由曲面[1]造型的建筑。椭球面是一种重要的经典曲面，可用于建筑造型的场合比球面更为广泛。实际工程中却还是较多的选择球面进行几何造型。如何在椭球面上进行优美的网格剖分，国内相关文献与图形都难以见到。原因是椭球面上的几何量的计算、几何性质分析较为复杂。椭球面斜驶线微分方程求解较为困难。本文采用内蕴几何的观点和方法建立三种不同情况椭球面的斜驶线微分方程。并进行了求解，分别获得解析解、级数解及数值解。讨论了椭球面与平面的共形对应，椭球面的等距面方程。通过具体的算例，在犀牛平台采用NURBS技术进行了三维演示。Abstract: With the deepening application of digital technology on architectural design, many buildings using techniques of classical and free curved surfaces appear at home and abroad.As an important classical surface, the ellipsoidal surface can be used more widely than the spherical surface.However, the practical engineering employs more spherical surfaces in the geometric modeling.Discussions about how to mesh the ellipsoidal surface elegantly are rarely seen in domestic literatures, for geometric calculation and analysis of ellipsoidal surfaces are relatively complicated.Besides, it is difficult to solve the differential equation of inclined path of the ellipsoidal surface.This paper adopts the viewpoint of the intrinsic geometry to establish and solve three different differential equations of inclined path of the ellipsoidal surface.Then the analytical solution, the series solution and the numerical solution are obtained.The conformal correspond of the rotational ellipsoid and the plane is discussed and the equidistant-surface equations are presented.Using the method of NURBS and the Rhinoceros-Platform, the process is presented in three-dimensional view through specific examples.
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旋转曲面上存在着各种优美的参数网格。如曲率线网格、测地线网格、斜驶线网格等等。国家大剧院在椭球面上采用经纬线网格造型。国际顶级建筑大师高技派代表人物诺曼福斯特设计的伦敦瑞士再保险总部大厦和莫斯科水晶岛是在旋转曲面上利用整体斜交不定向网格造型[2]。斜驶线网格是整体斜交定向网格，具有内在的定向性。椭球面是仅次于球面的重要造型曲面。椭球面上的斜驶线微分方程、椭球面与平面间的共形映射都与曲面的第一基本型有关，属于曲面的内蕴几何问题。曲面间共形映射是一种重要的映射，它比等距映射更显柔软，比微分同胚更显刚硬。椭球面的平行曲面(等距面)并不是椭球面。椭球面斜驶线网格的法向等距网格也不是等距面上的斜驶线网格。以上第二点，用常规方法很难说明。但采用活动标架外微分法及共形映射中定理可以方便地加以说明。文中图号中标有字母a的图为引用图，来自公开的网络信息，其它图形是在犀牛平台利用NURBS技术[3-4]绘制。
1. 旋转曲面整体斜交不等角网格
1.1 旋转曲面的经纬网格
过旋转曲面旋转轴的平面与旋转曲面的交线称为经线。旋转曲面上垂直旋转轴的平面与旋转曲面的交线称为纬线。经线与纬线都是封闭的平面曲线。过旋转曲面上任一点的经线与纬线互相垂直。全体经纬线构成了曲面上的经纬网。由微分几何知道旋转曲面的经纬线就是曲率线。
1.2 旋转曲面斜交不等角网格
在旋转曲面r(u, v)的二个独立的参数u, v间建立线性关系：u(v)=±av+b，a与b为常实数。将该关系代入曲面r(u, v)得到曲面上二条反向倾斜的曲线r(u(v), v)=r(v)。固定a，让b变动，就可以得到旋转曲面上的一个整体斜交不等角网格。该网格的特点是:1)网格线交于顶点；2)网格交角的大小随纬角的变化而变化；3)网格的原像是参数uov平面上的平行于对角线的斜交直线网格。
2. 旋转曲面斜驶线网格(整体斜交等角网格)
2.1 旋转曲面斜驶线的定义及几何意义
旋转曲面上与经线(或纬线)夹角保持为定常数的曲线称为斜驶线(又称定向线)。由于斜驶线被约束在一个对称的旋转曲面上，再加上定向的几何约束。便在E3中呈现出了三维螺旋几何结构，斜驶线永远不到达顶点。斜驶线族是既不封闭又互不相交的空间曲线族(内蕴平行)。在航海学里斜驶线叫航海线，在生物形态学里斜驶线叫斜生线。斜驶线网格是整体斜交等角网格。斜驶线的定向性保证了网格线夹角大小始终不变。
2.2 旋转曲面斜驶线微分方程
设(du, dv)为斜驶线切矢的方向，(δu, δv)为纬线切矢的方向，A为纬线与斜驶线的交角。因为纬线v=const，故有δv=0，当曲面为回转曲面时有F=0。由斜驶线定义得：
$ \begin{array}{l} \cos A = \frac{{Edu\delta u}}{{\sqrt {Ed{u^2} + Gd{v^2}} \cdot \sqrt {E\delta {u^2}} }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{\sqrt E du}}{{\sqrt {Ed{u^2} + Gd{v^2}} }},化简得\frac{{dv}}{{du}} = tgA\sqrt {\frac{E}{G}} 。 \end{array} $
其中，E=r′u·r′u，F=r′u·r′v=0，G=r′v·r′v为曲面的第一基本型系数。
即：I=Edu2+Fdudv+Gdv2。
3. 旋转椭球面与椭球面上的斜驶线网格
将椭圆绕其长(短)轴旋转一周就得到一个绕长(短)轴旋转椭球面。将球面的三个轴按不同比例缩放后就得到一个椭球面，球面是椭球面的特例。
3.1 球面斜驶线方程(球面是椭球面的特例)
3.1.1 球面斜驶线微分方程
设v为纬角，u为经角，a为球半径。球面的参数方程:
$ r\left( {u,v} \right) = \left[ {a\cos u\cos v,a\sin u\cos v,a\sin v} \right] $
(1) $ {r'_v}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\sin u\cos v,a\cos u\cos v,0} \right] $
$ {{r'}_v}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\cos u\sin v,a\cos u\cos v,a\cos v} \right] $
其中u, v为经纬参数。
球面第一基本型系数：E=r′u·r′u=a2cos2v，F=r′u·r′v=0，G=r′v·r′v=a2
球面的第一基本形式：
$ \begin{array}{l} I = Ed{u^2} + Fdudv + Gd{v^2} = {a^2}{\cos ^2}vd{u^2} + {a^2}d{v^2},\\ \sqrt {\frac{E}{G}} = \frac{{a\cos v}}{a} = \cos v \end{array} $
球面斜驶线约束微分方程：
$ \begin{array}{l} \frac{{dv}}{{du}} = tgA\sqrt {\frac{E}{G}} = tgA\cos v,du = \frac{{dv}}{{tgA\cos v}}\\ \;\;\;\;\; = ctgA\frac{{dv}}{{\cos v}} \end{array} $
$ u\left( v \right) = ctgA\int {\frac{{dv}}{{\cos v}}} = ctgA \cdot \ln \left| {tg\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{v}{2}} \right)} \right| + c $
A为纬线与斜驶线的交角为常数。
回代到球面的参数方程，得球面上的一条斜驶线：
$ r\left( {u\left( v \right),v} \right) = \left[ {a\cos u\left( v \right)\cos v,a\sin u\left( v \right)\cos v,a\sin v} \right] $
3.2 绕长轴旋转椭球面斜驶线方程
3.2.1 绕长轴旋转椭球面斜驶线微分方程
设v为纬角，u为经角。b>a时，绕椭圆长轴b旋转的椭球面的斜驶线方程椭球面方程：
$ r\left( {u,v} \right) = \left[ {a\cos u\cos v,a\sin u\cos v,b\sin v} \right] $
(2) $ {{r'}_u}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\sin u\cos v,a\cos u\cos v,0} \right] $
$ {{r'}_v}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\cos u\sin v,a\sin u\sin v,b\cos v} \right] $
$ E = {{r'}_u} \cdot {{r'}_u} = {a^2}{\cos ^2}v,F = {{r'}_u} \cdot {{r'}_v} = 0, $
$ G = {{r'}_v} \cdot {{r'}_v} = {a^2}{\sin ^2}v + {b^2}{\cos ^2}v $
设旋转椭球面上斜驶线切线方向为：(du, dv)，旋转椭球面纬线为v=cons(常数)，故δv=0。纬线切线方向为：(δu, δv=0)，二曲线夹角为A。
$ \begin{array}{l} \frac{{dv}}{{du}} = tgA\sqrt {\frac{E}{G}} ,\frac{{dv}}{{du}} = tgA\frac{{a\cos v}}{{\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}v + {b^2}{{\cos }^2}v} }}\\ u\left( v \right) = ctgA\int {\frac{{\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}v + {b^2}{{\cos }^2}v} }}{{a\cos v}}dv} ,\\ u\left( v \right) = ctgA\int {\frac{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}v} }}{{\cos v}}dv} \end{array} $
(3) 其中
$k = \sqrt {\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{b^2}}}}$ ，因为b≥a故k2≤1，积分得：$ \begin{array}{l} u\left( v \right) = \frac{b}{a}ctgA\left[ {\frac{{\sqrt {1 - {k^2}} }}{2}} \right.\\ \left. {\ln \frac{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}v} + \sqrt {1 - {k^2}\sin v} }}{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}v} - \sqrt {1 - {k^2}\sin v} }} + k{\mathop{\rm arc}\nolimits} \mathit{sin}\left( {k\sin v} \right)} \right]\\ + C \end{array} $
(4) C为积分常数由初始条件确定。
这就是斜驶线上二个角参数u和v必须满足的约束方程。将(2)代入(1)就得到绕长轴旋转的椭球面上的斜驶线方程。
$ r\left( {u\left( v \right),v} \right) = \left[ {a\cos u\left( v \right)\cos v,a\sin u\left( v \right)\cos v,b\sin v} \right] $
(5) 3.2.2 绕长轴旋转椭球面与平面之间的共形映射
若二个曲面Sa和Sb的第一基本型有Ia=Ib，则称Sa和Sb间存在等距映射(内蕴等距)。若二个曲面Sa和Sb的第一基本型有Ia=λ2(u, v)Ib，其中λ2(u, v)是u, v的连续函数。则称Sa和Sb间存在共形映射(或保角映射)。由微分几何知任意曲面与平面之间存在共形映射，任意二个曲面间存在局部的共形映射。文献[5]讨论了绕短轴旋转椭球面与平面之间的共形映射，这里讨论绕长轴旋转椭球面与平面之间的共形映射。
设S为平面αoβ，其第一基本型I1=ds2=dα2+dβ2
$ \begin{array}{l} {{\rm{I}}_2} = d{s^2} = Ed{u^2} + Gd{v^2} = {a^2}{\cos ^2}vd{u^2} + \left( {{a^2}{{\sin }^2}v} \right.\\ \;\;\;\;\left. { + {b^2}{{\cos }^2}v} \right)d{v^2} \end{array} $
设u=α，v=f(β)，得dα=du，dv=f'(β)dβ
$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{I}}_2} = d{s^2} = {a^2}{{\cos }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right)d{\alpha ^2} + \left[ {{a^2}{{\sin }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right) + } \right.}\\ {\left. {{b^2}{{\cos }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right)} \right]{{\left( {f'\left( \beta \right)} \right)}^2}d{\beta ^2}} \end{array}\\ 令:{a^2}{\cos ^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right) = \left[ {{a^2}{{\sin }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right) + } \right.\\ \left. {{b^2}{{\cos }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right)} \right]{\left( {f'\left( \beta \right)} \right)^2} \end{array} $
(6) 得：I2=ds2=a2cos2(f(β))[dα2+dβ2]=a2cos2(f(β))I1
此时
$ d\beta = \sqrt {\frac{{{a^2}{{\sin }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right) + {b^2}{{\cos }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right)}}{{{a^2}{{\cos }^2}\left( {f\left( \beta \right)} \right)}}} df, $
$ d\beta = \sqrt {\frac{{{a^2}{{\sin }^2}v + {b^2}{{\cos }^2}v}}{{{a^2}{{\cos }^2}v}}} dv = \sqrt {\frac{{1 - {k^2}{{\sin }^2}v}}{{\cos v}}} dv $
$ \begin{array}{l} \beta \left( v \right) = \frac{b}{a}\left[ {\frac{{\sqrt { - {k^2}} }}{2}} \right.\\ \left. {\ln \frac{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}v} + \sqrt {1 - {k^2}} \sin v}}{{\sqrt {1 - {k^2}{{\sin }^2}v} - \sqrt {1 - {k^2}} \sin v}} + k\arcsin \left( {k\sin v} \right)} \right] + c \end{array} $
β=β(v)是v的单值、单调增加的函数，其反函数v=v(β)存在。
共形参数变换为：α=u, β=β(v)。α, β与u, v是一组容许参数变换。
在共形映射下，旋转椭球面上的斜驶线与共形平面αoβ上的直线成一一对应并保持对应交角不变。若将椭球面上的一条斜驶线映射到共形参数平面αoβ得到一条直线，而将同一斜驶线映射到uov参数平面得到的则是一条非线性曲线——斜驶线方程的解曲线。反之可将αoβ平面S上的等角直线网格通过共形映射：u=α，v=v(β)和椭球面方程得到对应的斜驶线网格。
3.3 绕短轴旋转椭球面斜驶线微分方程
a>b时，绕椭圆短轴b旋转的椭球面的斜驶线方程：
椭球面方程:
$ r\left( {u,v} \right) = \left[ {a\cos u\cos v,a\sin u\cos v,b\sin v} \right] $
$ {{r'}_u}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\sin u\cos v,a\cos u\cos v,0} \right] $
$ {{r'}_v}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\cos u\sin v, - a\sin u\sin v,b\cos v} \right] $
(7) $ \begin{array}{l} E = {{r'}_u} \cdot {{r'}_u} = {a^2}{\cos ^2}v\;\;\;\;F = {{r'}_u} \cdot {{r'}_v} = 0\;\;\;\;G = \\ {{r'}_v} \cdot {{r'}_v} = {a^2}{\sin ^2}v + {b^2}{\cos ^2}v \end{array} $
斜驶线微分方程：
$ \begin{array}{l} \frac{{dv}}{{du}} = tgA\sqrt {\frac{E}{G}} = tgA\sqrt {\frac{{{a^2}{{\cos }^2}v}}{{{a^2}{{\sin }^2}v + {b^2}{{\cos }^2}v}}} ,\\ du = ctgA\frac{{\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}v + {b^2}{{\cos }^2}v} }}{{a\cos v}}dv\\ \;\;\;\; = ctgA\frac{{\sqrt {{a^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right){{\cos }^2}v} }}{{a\cos v}}dv \end{array} $
记
${e^2} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} < 1$ $ u\left( v \right) = ctgA\int {\frac{{\sqrt {1 - {e^2}{{\cos }^2}v} }}{{\cos v}}dv} $
(8) 将
$ \sqrt {1 - {e^2}{{\cos }^2}v} $ 按二项式展开后，再积分得到u(v)级数解。回代到椭球面方程得斜驶线方程：r(u(v),v)=[acosu(v)cosv,asinu(v)cosv, bsinv]
绕短轴旋转椭球面到平面的共形对应详见文献[5]。
3.4 椭球面斜驶线方程
$ \begin{array}{l} r\left( {u,v} \right) = \left[ {a\cos u\cos v,b\sin u\cos v,c\sin v} \right],\\ a \ne b \ne c \end{array} $
(9) 斜驶线是内蕴定义的，只要有一个内在的相对角度就可定义斜驶线，如在直纹面上将与每一条直母线交成定角的曲线定义为直纹面的斜驶线[6]。经纬线是相对于旋转曲面定义的，椭球面不是旋转曲面，但它具有对称性，故有可将斜驶线的概念拓广一下。椭球面上的广义斜驶线：将过椭球面某一对称轴的平面与椭球面的交线视为广义经线，而与该对称轴垂直的平面与椭球面的交线视为广义纬线。那么椭球面与广义经(纬)线夹角不变的曲线就是椭球面广义斜驶线。下面简称斜驶线。
3.4.1 椭球面斜驶线微分方程
1) 度量张量系数(第一基本型张量系数)：
$ {{r'}_u}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\sin u\cos v,a\cos u\cos v,0} \right] $
$ {{r'}_v}\left( {u,v} \right) = \left[ { - a\cos u\sin v, - a\sin u\sin v,b\cos v} \right] $
$ E = {{r'}_u} \cdot {{r'}_u} = {a^2}{\sin ^2}u{\cos ^2}v + {b^2}{\cos ^2}u{\cos ^2}v $
$ F = {{r'}_u} \cdot {{r'}_v} = \left( {{a^2} - {b^2}} \right)\sin u\sin v\cos u\cos v \ne 0 $
$ \begin{array}{l} G = {{r'}_v} \cdot {{r'}_v} = \\ \;\;\; = {a^2}{\cos ^2}u{\sin ^2}v + {b^2}{\sin ^2}u{\sin ^2}v + {c^2}{\cos ^2}v \end{array} $
斜驶线微分方程:
$ \begin{array}{l} \cos A = \\ \frac{{Edu\delta u + F\left( {du\delta v + dv\delta u} \right) + Gdv\delta v}}{{\sqrt {Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}} \sqrt {E\delta {u^2} + 2F\delta u\delta v + G\delta {v^2}} }}\\ = \frac{{Edu\delta u + F\delta udv}}{{\sqrt {E\delta {u^2}} \sqrt {Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}} }}\\ = \frac{{Edu + Fdv}}{{\sqrt E \sqrt {Ed{u^2} + 2Fdudv + Gd{v^2}} }} = \frac{{E + F\frac{{dv}}{{du}}}}{{\sqrt E \sqrt {E + 2F\frac{{dv}}{{du}} + G} }} \end{array} $
$ \begin{array}{l} {\cos ^2}A = \frac{{{{\left( {E + F\frac{{dv}}{{du}}} \right)}^2}}}{{E\left( {E + 2F\frac{{dv}}{{du}} + G} \right)}}\\ = \frac{{{E^2} + 2EF\frac{{dv}}{{du}} + {F^2}{{\left( {\frac{{dv}}{{du}}} \right)}^2}}}{2} \end{array} $
$ \left( {{F^2} - EG{{\cos }^2}A} \right){\left( {\frac{{dv}}{{du}}} \right)^2} + 2EF{\sin ^2}A\frac{{dv}}{{du}} + {E^2}{\sin ^2}A = 0 $
$ \frac{{dv}}{{du}} = \frac{{ - EF{{\sin }^2}A \pm E\sqrt {EG - {F^2}} \sin A\cos A}}{{{F^2} - EG{{\cos }^2}A}} $
其中，±表示左旋和右旋。
这是一个方向场(或导数)已经解出的微分方程。该微分方程无法用分离变量法，积分因子法和常微分方程基本解法求出的一类常微分方程。由于斜驶线在椭球面上是客观存在的，本微分方程解的存在性和稳定性，可通过满足李普希兹条件来验证。化为微分方程初值问题求解。采用数值解法中的常用方法之一“四阶龙格-库塔方法”，求其离散的数值解。先求出uov平面内解曲线(u(v), v)上的一组离散点(u(vi), vi)i=1, 2, …n。将该组离散点作坐标映射r(u(vi), vi)=[acosu(vi)cosvi, bsinu(vi)cosvi, csinvi]后就得到E3中斜驶线上对应的一组离散点(xi, yi, zi)i=1, 2, …n，对它们进行样条插值。
3.4.2 椭球面与平面之间的共形映射
椭球面上存在特殊的刘维尔(Liouville)形式的坐标[7]：
$ \begin{array}{l} d{s^2} = \frac{{u - v}}{4}\left( {\frac{{udu}}{{\left( {a - u} \right)\left( {b - u} \right)\left( {c - u} \right)}} - } \right.\\ \;\;\;\;\;\left. {\frac{{vd{v^2}}}{{\left( {a - v} \right)\left( {b - v} \right)\left( {c - v} \right)}}} \right) \end{array} $
(10) 通过积分
$d\alpha = \frac{{\sqrt u du}}{{\sqrt {\left( {a - u} \right)\left( {b - u} \right)\left( {c - u} \right)} }} $ $ d\beta = \frac{{\sqrt v dv}}{{\sqrt {\left( {a - v} \right)\left( {b - v} \right)\left( {c - v} \right)} }} $
定义α和β，就得到等温坐标系：
$ d{s^2} = \frac{{u\left( \alpha \right) - v\left( \beta \right)}}{4}\left( {d{\alpha ^2} + d{\beta ^2}} \right)。 $
从而可以建立椭球面上的广义斜驶线与共形平面αoβ上的直线成一一对应并保持交角不变(通过椭球面上特殊的刘维尔形式的坐标，还可以通过积分求出椭球面的所有测地线)。
4. 旋转椭球面等距面(外在等距)
设S是一个正则曲面，沿曲面S在每一点的法线截取长度为a(常数)的线段，其终端描出一个新曲面，记为Sa，称它为与曲面S平行的曲面(或等距面)。
4.1 旋转椭球面等距面方程
$ \begin{array}{l} \tilde r\left( {u,v} \right) = \left[ {a\cos u\cos v,a\sin u\cos v,b\sin v} \right] \pm {\omega _0}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{n}{{\left| n \right|}} \end{array} $
(11) 常数ω0为二曲面之间的法向距离，n为旋转椭球面的法向量。等距面上的点与参考曲面上对应点有相同的参数组，对应点的切平面互相平行，且公用同一法线。故又称为平行曲面。旋转椭球等距面不是旋转椭球面，其上点坐标不满足旋转椭球方程。将常数ω0激活为连续参数ω后就得到旋转椭球面等厚壳三参数方程。
旋转椭球面等厚壳方程：(三维流形)
$ \begin{array}{l} {r_\mathit{\Omega }}\left( {u,v,\omega } \right) = \left[ {a\cos u\cos v - } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega \frac{{b\cos v\cos u}}{{\sqrt {{b^2}{{\cos }^2}v + {a^2}{{\sin }^2}v} }},\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\sin u\cos v - \omega \frac{{b\cos v\sin u}}{{\sqrt {{b^2}{{\cos }^2}v + {a^2}{{\sin }^2}v} }},\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {b\sin v - \omega \frac{{a\sin v}}{{\sqrt {{b^2}{{\cos }^2}v + {a^2}{{\sin }^2}v} }}} \right] \end{array} $
(12) 它在几何上表示了旋转椭球面等厚壳这一个三维流形。既可以将其理解为旋转椭球面等距面族，也可以理解为旋转椭球面法线族(双参数线汇)。
4.2 旋转椭球面斜驶线网格的法向等距网格
将旋转椭球面上的斜驶线网格上每一点沿着旋转椭球面上该点法线方向移动固定距离a后，得到一个新的网格，称为旋转椭球面斜驶线网格的等距网格(或平行网格)。该网格有着实际的工程意义，如结构构件的截面定位、布置双层椭球网架或玻璃幕墙的铝合金网壳等。虽然该网格落在旋转椭球面的等距面上(外在等距)，但由下面的讨论可知，该网格并不是旋转椭球面等距面上的斜驶线网格。但它也是整体、斜交、对称的网格，其特点是：1)网格线不交于顶点；2)网格交角的大小随纬角的变化而变化。
记σ:S→Sa为基本曲面到等距面的一一对应，采用活动标架外微分法[8]可以证明：对球面σ是保形映射，而对旋转椭球面和一般椭球面σ是不保形映射。
$d\overrightarrow r = {\omega ^1}\overrightarrow {{e_1}} + {\omega ^2}\overrightarrow {{e_2}} $ 中1-形式ω1, ω2叫做$\overrightarrow {{e_1}} $ ,$\overrightarrow {{e_2}} $ 的对偶标架场。$\overrightarrow {{e_1}} $ ,$\overrightarrow {{e_2}} $ 确定以后，1-形式ω1, ω2也随之确定。由文献[8]：取基本曲面S的二阶标架场(此时u, v为主方向即曲率线参数坐标)，第一基本形式为：Ι=(ω1)2+(ω1)2，其等距面Sa的第一级别形式为：
$\widetilde I = {({\widetilde \omega ^1})^2} + {({\widetilde \omega ^2})^2} = {(1 - a{\kappa _1})^2}{({\omega ^1})^2} + {(1 - a{\kappa _2})^2}{({\omega ^1})^2} = {(1 - a{\kappa _1})^2}[{({\omega ^1})^2} + \frac{{{{(1 - a{\kappa _2})}^2}}}{{{{(1 - a{\kappa _1})}^2}}}{({\omega ^1})^2}]$ a为距离常数，
$a \ne \frac{1}{{{k_2}}}, \frac{1}{{{k_2}}}, {k_1}, {k_2}$ 为S主曲率。于球面有：κ1=κ2，得$\widetilde I = {(1 - a{\kappa _1})^2}[{({\omega ^1})^2} + {({\omega ^1})^2}] = {(1 - a{\kappa _1})^2}I, $ 故可知映射σ:S→Sa是保形映射。σ可以将S上的斜驶线网格映射为Sa上的斜驶线网格。
对于旋转椭球或椭球面
${\kappa _1} \ne {\kappa _2}, \frac{{{{(1 - a{\kappa _2})}^2}}}{{{{(1 - a{\kappa _1})}^2}}} \ne 1 $ 。所以$\widetilde I \ne {\lambda ^2}I $ ，故可知当曲面参数u, v为经纬坐标参数时，映射σ:S→Sa不是保形映射。σ无法将S上的斜驶线网格映射为Sa上的斜驶线网格。5. 椭球面建筑造型应用
几何造型就是用几何的方法代替坐标方法进行造型[9][10]。目前已有的椭球面造型建筑较多采用经纬网格，或者用人工观察调节经纬线的交点位置，再斜向连线形成斜交网格。从整体上观察，连续性、光顺性、光滑性都比较差，网格也显得较为生硬。本文采用微分几何的方法，利用斜驶线网格进行造型。不仅优美，还可灵活选定网格夹角。利用椭球面斜驶线网格还可以在椭球面或椭球上设计出象碳笼、蜂屋一类创新的几何造型作品。
6. 结语
本文用内蕴几何的观点和方法对旋转椭球面和一般椭球面上的斜驶线网格进行了研究。球面到平面的共形映射除了极点共形映射外还有Mercator投影等。文献[5]讨论了绕短轴旋转椭球面到平面的共形对应。本文给出了绕长轴旋转椭球面和一般椭球面到平面的共形对应。斜驶线在空间表现出优美的螺旋几何结构，是自然界、生物界普遍存在的一种形式。从本文所作的图形可以看到，椭球面斜驶线网格非常优美，适合于不同的建筑造型。用本文方法还可作出其它旋转旋转曲面的斜驶线网格(图 20、21)。虽然大多数旋转曲面无法求得解析解，但可以求得逼近解，或离散的数值解。通过NURBS技术得到斜驶线(三阶逼近的)。斜驶线网格不仅优美，而且易于加工制造及现场定位拼装。借助于计算机辅助，只需将一条斜驶线通过旋转矩阵与镜像变换就得到整体斜驶线网格，也可通过共形映射获得整体斜驶线网格。
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[1] 朱心雄.自由曲线曲面造型技术[M].北京:科学出版社, 2008. [2] 张群力, 周平槐, 何银丰, 程健基于软件Rhino的异型建筑几何造型[M]. 杭州: 浙江建筑2013年第三期, 2013. [3] 王文栋.RhinoScript参数建模[M].北京:中国青年出版社, 2011. [4] Les Piegl, Wayne Tiller著(译者: 赵罡, 穆国旺, 王拉柱). 非均匀有理B样条[M]. 清华大学出版社, 2010. [5] 颜如尧.旋转椭球面到平面的共形对应[J].丽水师专学报, 1987. [6] 傅朝金.直纹面上的斜驶线[J].湖北师范学院学报(自然科学版), 1992, 3:006. http://www.cqvip.com/QK/83847X/199203/1005123316.html [7] M. 贝尔热, B. 戈斯丟著(译者: 王耀东). 微分几何[M]. 高等教育出版社, 2009. 7. [8] 陈维恒.微分几何[M].北京大学出版社, 2006. [9] Ronald Goldman著(译者: 邓建松). 计算计图形学与几何造型导论[M]. 清华大学出版 [10] 丁汉, 朱利民.复杂曲面数字化制造的几何学理论和方法[M].北京:科学出版社, 2011.
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