A Story Earthquake Shear Force Distribution Method for Non-orthogonal Masonry Structures
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摘要: 本文推导了砌体结构沿任意方向地震时任意方向墙体在刚性楼板、柔性楼板、半刚性楼板情况下的地震剪力计算公式，解决了砌体结构CAD软件中斜交结构楼层地震剪力分配问题。Abstract: In the present paper, an earthquake shear force calculation method for arbitrary direction masonry walls under arbitrary direction earthquake, considering three types of floor slab, i.e. rigid floor slab, soft floor slab and semi-rigid floor slab, are studied. The proposed formulas can be used to distribute story earthquake shear force among masonry walls in a non-orthogonal masonry structure.
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1. 前言
抗震规范[1]强制性条文第5.1.1条第2款规定，有斜交抗侧力构件的结构, 当相交角度大于15°时, 应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。
采用底部剪力法计算砌体结构水平地震作用，各楼层地震作用大小与结构的地震方向无关。但是，对于某一特定大片墙体(带门、窗洞口的墙体)，不同方向地震时其承受的楼层地震剪力是不同的。
可以证明，当结构沿某一大片墙方向地震时，该方向大片墙承担的地震剪力比结构沿任何其它方向地震时承担的地震剪力都要大。所以，各大片墙仅需对与自身方向一致的地震作用进行抗震验算。
现有砌体结构计算理论[2-10]仅给出了正交砌体结构各大片墙地震剪力的计算方法，对于有斜墙的砌体结构，各大片墙承担的地震剪力计算没有现成公式可用。
本文推导了斜交结构沿任一斜墙方向地震时，在刚性楼面、柔性楼面和半刚性楼面情况下，各大片墙承担楼层地震剪力的通用计算公式。使用通用公式不但可以计算斜交砌体结构大片墙的地震剪力，而且可以计算正交砌体结构大片墙的地震剪力，正交结构只是斜交结构的一个特例。
2. 刚性楼板时大片墙承担的楼层地震剪力
下面推导沿任一方向(斜墙方向)地震，刚性楼板时大片墙承担的楼层地震剪力计算公式。
在图 1中，设i层有一斜墙与x轴方向相同，与X轴的夹角为α; 第m大片墙与X轴的夹角为βim，与x轴的夹角为γim，γim=βim－α。
沿x方向(斜墙方向)地震时，设i层楼板沿x方向位移Δi，第m大片墙沿墙长方向位移Δim，则：
$ {\Delta _{im}} = {\Delta _i}\cos {\gamma _{im}} $
(1) 式中：Δim——第m大片墙由Δi引起的沿墙长方向的位移。
第m大片墙承担的楼层地震剪力可用墙体侧移刚度和位移表示为：
$ {V_{im}} = {K_{im}}{\Delta _{im}} $
(2) 式中：Vim——第m大片墙由Δim产生的剪力；
Kim -----第m大片墙侧移刚度。
把式(1)代入式(2), 得：
$ {V_{im}} = {\Delta _i}{K_{im}}\cos {\gamma _{im}} $
(3) 将各大片墙承担的楼层地震剪力向x轴投影，平衡方程为：
$ \sum {{V_{im}}\cos {\gamma _{im}} = {V_i}} $
(4) 式中：Vi——楼层地震剪力。
把式(3)代入式(4), 得：
$ {\Delta _i}\sum {{K_{im}}{{\cos }^2}{\gamma _{im}} = {V_i}} $
(5) $ \therefore \;\;\;\;\;\;\;{\Delta _i} = \frac{{{V_i}}}{{\sum {{K_{im}}{{\cos }^2}{\gamma _{im}}} }} $
(6) 把式(6)代入式(3), 得：
$ {V_{im}} = \frac{{{K_{im}}\cos {\gamma _{im}}}}{{\sum {{K_{im}}{{\cos }^2}{\gamma _{im}}} }}{V_i} $
(7) 由于大片墙高宽比一般小于1，侧移刚度计算可仅考虑剪切变形的影响[2]，即：
$ {K_{im}} = \frac{{{G_i}{A_{im}}}}{{\xi h}} $
(8) 式中：Gim——i层第m大片墙剪切模量；
Aim——i层第m大片墙净截面积；
ξ——剪应力不均匀系数，对矩形截面，取ξ =1.2;
h——i层层高。
将式(8)代入式(7)，得：
$ {V_{im}} = \frac{{{G_i}{A_{im}}\cos {\gamma _{im}}}}{{\sum {{G_{im}}{{\cos }^2}{\gamma _{im}}} }}{V_i} $
(9) 考虑到砌体房屋每层块体强度等级和砂浆强度等级相同，各大片墙剪切模量相等，(9)式可简化为：
$ {V_{im}} = \frac{{{A_{im}}\cos {\gamma _{im}}}}{{\sum {{A_{im}}{{\cos }^2}{\gamma _{im}}} }}{V_i} $
(10) 式(10)即为沿任一斜墙方向地震，刚性楼板时各大片墙承担的水平地震作用的计算公式。从式(10)中可以发现, 当γim =0时，即大片墙方向与地震方向一致时，Vim取最大值。换句话说，当结构沿不同方向地震时，某一特定大片墙承担不同的楼层地震剪力，计算几个地震方向，该大片墙就有几个对应的地震剪力，在所有地震剪力中，有一个最大值，它是当地震方向与该大片墙方向相同时求出的大片墙地震剪力。
对于正交结构，需要对X、Y两个方向的地震进行抗震验算。当X方向地震时，所有平行于轴的墙体γim =0，所有平行于Y轴的墙体γim=900，由(10)式可以得出：
$ V_{iXm}^X = \frac{{V_{iXm}^{}}}{{\sum {A_{iXm}^{}} }}{V_i} $
(11) $ V_{iYm}^X = 0 $
(12) 式中：ViXmX——X方向地震i层X方向第m大片墙承担的地震剪力；
ViYmX——X方向地震i层Y方向第m大片墙承担的地震剪力；
AiXm——i层X方向第m大片墙净截面积；
∑AiXm——i层X方向全部大片墙净截面积之和。
当Y方向地震时，所有平行于X轴的墙体γim=－900，所有平行于Y轴的墙体γim=0，由式(10)可以得出：
$ V_{iXm}^X = 0 $
(13) $ V_{iYm}^Y = \frac{{A_{iYm}^{}}}{{\sum {A_{iXm}^{}} }}{V_i} $
(14) 式中：ViXmY——Y方向地震i层X方向第m大片墙承担的地震剪力；
ViYmY——Y方向地震i层Y方向第m大片墙承担的地震剪力；
AiYm——i层Y方向第m大片墙净截面积；
∑AiYm——i层Y方向全部大片墙净截面积之和。
3. 柔性楼板时大片墙承担的楼层地震剪力
柔性楼板(木楼板)现已很少采用，但半刚性楼板(装配式钢筋混凝土楼板)用得较多，计算半刚性楼板结构各大片墙承担的楼层地震剪力需先求出同一结构柔性楼板时各大片墙承担的楼层地震剪力(见下节)，所以，无论对柔性楼板结构还是对半刚性楼板结构都需要求出柔性楼板时各大片墙承担的楼层地震剪力。
抗震规范第5.2.6条第2款规定，柔性楼板建筑的楼层水平地震剪力，宜按抗侧力构件从属面积上重力荷载代表值的比例分配。
根据抗震规范上述规定及参照文献[5]给出的正交柔性楼板结构大片墙承担的楼层地震剪力计算公式，本文在推导带斜墙柔性楼板结构层间地震剪力分配公式时采用了以下假定：
1) 墙体仅在平面内承担地震剪力，平面外剪力可忽略不计；墙体平面内地震剪力与墙体从属面积上的重力荷载代表值成正比；
2) 当结构沿某一方向地震时，与地震方向垂直的墙体不承担地震剪力，其地震剪力为零。
根据以上假定，当结构沿x方向(斜墙方向，如图 2所示)地震时，i层第m大片墙沿墙长方向的地震剪力可假设为：
$ {V_{im}} = \psi {G_{im}}\cos {\gamma _{im}} $
(16) 式中：Vim——x方向地震i层第m大片墙沿墙长方向的地震剪力;
Gim——i层第m大片墙从属面积上的重力荷载代表值;
γim——i层第m大片墙与地震方向的夹角(图 2)；
ψ——待定系数。
显然，公式(16)满足上述两个基本假定，但需求出待定系数ψ。
将i层所有大片墙平面内剪力沿x轴投影，平衡方程为：
$ \sum {{V_{im}}} \cos {\gamma _{im}} = {V_i} $
(17) 式中：Vi——楼层地震剪力。
把式(16)代入式(17)，得：
$ \psi \sum {{G_{im}}} {\cos ^2}{\gamma _{im}} = {V_i} $
(18) $ \therefore \;\;\;\;\;\;\;\psi = \frac{{{V_i}}}{{\sum {{G_{im}}} {{\cos }^2}{\gamma _{im}}}} $
(19) 把式（19）代入式（16），得：
$ {V_{im}} = \frac{{{G_{im}}\cos {\gamma _{im}}}}{{\sum {{G_{im}}} {{\cos }^2}{\gamma _{im}}}}{V_i} $
(20) 式(20)即为沿任一斜墙方向地震，柔性楼板时各大片墙承担的水平地震剪力的计算公式。从式(20)中可以发现, 当γim =0时，即大片墙方向与地震方向一致时，Vim取最大值。
对正交结构，需要对X、Y两个方向的地震进行抗震验算。当X方向地震时，所有平行于X轴的墙体γim =0，所有平行于Y轴的墙体γim=900，由(20)式可以得出：
$ V_{iXm}^X = \frac{{{G_{iXm}}}}{{\sum {{G_{iXm}}} }}{V_i} $
(21) $ V_{iYm}^X = 0 $
(22) 式中：ViXmX——X方向地震i层X方向第m大片墙承担的地震剪力；
ViYmX——X方向地震i层Y方向第m大片墙承担的地震剪力；
GiXm——i层X方向第m大片墙从属面积上重力荷载代表值；
∑GiXm——i层X方向全部大片墙从属面积上重力荷载代表值之和。
当Y方向地震时，所有平行于X轴的墙体γim=－900，所有平行于Y轴的墙体γim =0。由(20)式可以得出：
$ V_{iXm}^Y = 0 $
(23) $ V_{iYm}^Y = \frac{{{G_{iYm}}}}{{\sum {{G_{iYm}}} }}{V_i} $
(24) 式中：ViXmY——Y方向地震i层X方向第m大片墙承担的地震剪力；
ViYmY——Y方向地震i层Y方向第m大片墙承担的地震剪力；
GiYm——i层Y方向第m大片墙从属面积上重力荷载代表值；
∑GiYm——i层Y方向全部大片墙从属面积上重力荷载代表值之和。
4. 半刚性楼板时大片墙承担的楼层地震剪力
半刚性楼板时，各大片墙所承担的地震剪力，可取按刚性楼板和柔性楼板计算的平均值，由式(10)和式(20)，可得：
$ \begin{array}{l} \;\;\;\;\;{V_{im}} = \\ \frac{1}{2}\left[{\frac{{{A_{im}}}}{{\sum {{A_{im}}} {{\cos }^2}{\gamma _{im}}}} + \frac{{{G_{im}}}}{{\sum {{G_{im}}} {{\cos }^2}{\gamma _{im}}}}} \right]\cos {\gamma _{im}}{V_i} \end{array} $
(25) 对正交结构，X方向地震时：
$ V_{iXm}^X = \frac{1}{2}\left[{\frac{{{A_{iXm}}}}{{\sum {{A_{iXm}}} }} + \frac{{{G_{iXm}}}}{{\sum {{G_{iXm}}} }}} \right]{V_i} $
(26) $ V_{iYm}^X{\rm{ = }}0 $
(27) Y方向地震时：
$ V_{iXm}^Y = 0 $
(28) $ V_{iYm}^Y = \frac{1}{2}\left[{\frac{{{A_{iYm}}}}{{\sum {{A_{iYm}}} }} + \frac{{{G_{iYm}}}}{{\sum {{G_{iYm}}} }}} \right]{V_i} $
(29) 5. 大片墙中各墙段地震剪力分配
大片墙中各墙段承担的水平地震剪力，不管何种楼板类型，均按墙段侧移刚度比例分配：
$ V_{im}^j = \frac{{K_{im}^j}}{{\sum {K_{im}^j} }}{V_{im}} $
(30) 式中：Vjim ——i层第m大片墙j墙段承担的地震剪力；
Vim ——i层第m大片墙承担的地震剪力；
Kimj——i层第m大片墙j墙段抗侧力刚度：
$ 当\rho = \frac{h}{b} < 1\;\;时, K_{im}^j = \frac{{EA}}{{3h}} $
(31) $ 当1 \le \rho = \frac{h}{b} \le 4\;\;时, K_{im}^j\frac{{EA}}{{3h(1 + \frac{{A{h^2}}}{{36I}})}} $
(32) $ 当\rho = \frac{h}{b} > 4时, K_{im}^j = 0 $
(33) 式中：A——墙段面积；
h——墙段高；
b——墙段宽;
E——墙体弹性模量。
∑Kimj——i层第m大片墙各墙段侧移刚度之和。
6. 例题
【例一】二层砌体结构，一个结构标准层，标准层平面如图 3所示。层高3m, 抗震设防烈度8度(0.3g)，墙厚240mm, 砌体容重22kN/m3。楼面均布恒荷载4kN/m2, 楼面均布活荷载2kN/m2。窗洞口尺寸2m×1m，底高1m;门洞口尺寸1m×2m，底高0m；刚性楼面，底层层间剪力设计值为305.11kN。试计算底层各大片墙及大片墙中各墙段承担的地震剪力。
【解】由于有四个方向的墙体: 0度、45度、90度、116.6度，分别计算结构沿这四个方向地震时各大片墙承担的地震剪力，共有四组内力。抗剪验算时每大片墙地震剪力应从地震方向与该墙方向一致的内力组中选取。底层大片墙沿四个方向地震时承担的地震剪力见表 1, 底层大片墙中各墙段剪力分配见表 2。
表 1 刚性楼面时底层各大片墙的地震剪力设计值(层间剪力设计值=305.11kN)地震 墙体 Aim βim γim Aim Aim ∑Aim Vim 角度α 轴线号 cosγim cos2γim cos2γim 计算值 0° 1 3.24 45 45 2.29 1.62 11.36 2 4 90 90 0 0 3 3 90 90 0 0 4 4 90 90 0 0 a 3 0 0 3 3 80.57 c 6 0 0 6 6 16.15 d 3.71 116.6 116.6 -1.66 0.74 45° 1 3.24 45 0 3.24 3.24 13.61 72.36 2 4 90 45 2.83 2.00 3 3 90 45 2.12 1.50 4 49 0 45 2.83 2.00 a 3 0 -45 2.12 1.50 c 6 0 -45 4.24 3.00 d 3.71 116.6 71.6 1.17 0.37 90° 1 3.24 45 -45 2.29 1.62 15.59 2 49 0 0 4 4 78.28 3 3 90 0 3 3 58.71 4 4 0 90 0 4 78.28 a 3 0 -90 0 0 c 6 0 -90 0 0 d 3.71 116.6 26.6 3.32 2.97 116° 1 3.24 45 -71.6 1.02 0.32 14.63 2 4 90 -26.6 3.58 3.20 3 3 90 -26.6 2.68 2.40 4 4 90 -26.6 3.58 3.20 a 3 0 -116.6 -1.34 0.60 c 6 0 -116.6 -2.69 1.20 d 3.71 116.6 0 3.71 3.71 77.37 表 2 一层各墙段的地震剪力设计值轴号 大片墙剪力设计值（来自表 1） 墙段编号、刚度及剪力设计值 编号 ρ=h/b Kimj Vimj(计算值) 1 72.6 ① 1.23 0.1 802Et 36.3 ② 1.23 0.1 802Et 36.3 ∑ 0.3 604Et 72.6 2 78.3 ① 0.29 1.1 494Et 73.72 ② 2.00 0.0 714Et 4.58 ∑ 1.2 208Et 78.30 3 58.7 ① 1.00 0.2 500Et 58.70 ∑ 0.2 500Et 58.70 4 78.3 ① 0.29 1.1 494Et 73.72 ② 2.00 0.0 714Et 4.58 ∑ 1.2 208Et 78.30 a 80.5 ① 2.0 0.0 714Et 8.94 ② 0.667 0.5 000Et 62.62 ③ 2.0 0.0 714Et 8.94 ∑ 0.6 428Et 80.50 c 161.1 ① 0.5 0.6 667Et 161.1 ∑ 0.6 667Et 161.1 d 77.3 ① 1.70 0.0 999Et 9.11 ② 0.54 0.6 173Et 56.31 ③ 1.48 0.1 302Et 11.88 ∑ 0.8 474Et 77.30 7. 结论
(1) 本文推导的斜交结构楼层地震剪力分配公式，可适用于任意平面布置砌体结构的抗震设计，正交结构只是斜交结构的一个特例；当结构正交时，本文给出的层间剪力分配公式与现有砌体结构计算理论[2-7]给出的公式完全一致。
(2) 当结构沿某一大片墙方向地震时，该方向大片墙承担的地震剪力比结构沿任何其它方向地震时承担的地震剪力都要大。所以，斜交结构需要对沿各大片墙方向的地震作用进行抗震验算，正交结构只需对X、Y方向的地震作用进行验算。
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表 1 刚性楼面时底层各大片墙的地震剪力设计值(层间剪力设计值=305.11kN)
地震 墙体 Aim βim γim Aim Aim ∑Aim Vim 角度α 轴线号 cosγim cos2γim cos2γim 计算值 0° 1 3.24 45 45 2.29 1.62 11.36 2 4 90 90 0 0 3 3 90 90 0 0 4 4 90 90 0 0 a 3 0 0 3 3 80.57 c 6 0 0 6 6 16.15 d 3.71 116.6 116.6 -1.66 0.74 45° 1 3.24 45 0 3.24 3.24 13.61 72.36 2 4 90 45 2.83 2.00 3 3 90 45 2.12 1.50 4 49 0 45 2.83 2.00 a 3 0 -45 2.12 1.50 c 6 0 -45 4.24 3.00 d 3.71 116.6 71.6 1.17 0.37 90° 1 3.24 45 -45 2.29 1.62 15.59 2 49 0 0 4 4 78.28 3 3 90 0 3 3 58.71 4 4 0 90 0 4 78.28 a 3 0 -90 0 0 c 6 0 -90 0 0 d 3.71 116.6 26.6 3.32 2.97 116° 1 3.24 45 -71.6 1.02 0.32 14.63 2 4 90 -26.6 3.58 3.20 3 3 90 -26.6 2.68 2.40 4 4 90 -26.6 3.58 3.20 a 3 0 -116.6 -1.34 0.60 c 6 0 -116.6 -2.69 1.20 d 3.71 116.6 0 3.71 3.71 77.37 
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表 2 一层各墙段的地震剪力设计值
轴号 大片墙剪力设计值（来自表 1） 墙段编号、刚度及剪力设计值 编号 ρ=h/b Kimj Vimj(计算值) 1 72.6 ① 1.23 0.1 802Et 36.3 ② 1.23 0.1 802Et 36.3 ∑ 0.3 604Et 72.6 2 78.3 ① 0.29 1.1 494Et 73.72 ② 2.00 0.0 714Et 4.58 ∑ 1.2 208Et 78.30 3 58.7 ① 1.00 0.2 500Et 58.70 ∑ 0.2 500Et 58.70 4 78.3 ① 0.29 1.1 494Et 73.72 ② 2.00 0.0 714Et 4.58 ∑ 1.2 208Et 78.30 a 80.5 ① 2.0 0.0 714Et 8.94 ② 0.667 0.5 000Et 62.62 ③ 2.0 0.0 714Et 8.94 ∑ 0.6 428Et 80.50 c 161.1 ① 0.5 0.6 667Et 161.1 ∑ 0.6 667Et 161.1 d 77.3 ① 1.70 0.0 999Et 9.11 ② 0.54 0.6 173Et 56.31 ③ 1.48 0.1 302Et 11.88 ∑ 0.8 474Et 77.30
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